partiels/091215/partiel_Mathsdis_S1_Decembre 09.tex~

   1 \documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
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  19
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  21
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  23
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  25
  26 \geometry{hmargin=1cm, vmargin=1.5cm}\begin{document}
  27 \begin{center}
  28 \begin{Huge}
  29 Partiel de : \\
  30 Semestre 1 (Decembre 09)\\
  31 \end{Huge}
  32 \end{center}
  33
  34 La calculatrice et la table de la loi normale sont autorisés, ainsi qu'une fiche $10 \times 15$ cm. Ce sujet contient 40 affirmations justes, et 40 fausses. Vous aurez +1 à chaque valeur de vérité trouvée, -1 à chaque erreur (et 0 en absence de réponse). Les notes seront ajustées à l'intervalle $[0;20]$ (les notes négatives auront 0).
  35
  36 Q. 1. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  37
  38 %Q. 2. La puissance du continu est la puissance de $\mathds{R}$.
  39 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  40
  41 %Q. 80.
  42 Q. 2. Soit $t_1$ et $t_2$ deux termes exprimés dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, . et $\overline{\begin{array}{l}~\end{array}}$.
  43 Si $t_1 +  t_2 = 1$ alors $t_1 = 1 $ et $t_2$ a une valeur quelconque, et vice versa.
  44  L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  45
  46
  47
  48
  49 Q. 3. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Pour tout $x$ de $E$, il existe au plus un $y$ de $F$ tel que $x \mathcal{R} y$.
  50 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  51
  52 Q. 4. Une application est une relation fonctionnelle telle que tout élément de l'ensemble de départ possède au moins une image.
  53 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  54
  55 Q. 5. Une application est une relation binaire. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  56
  57 Q. 6. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
  58 dans le diagramme cartésien:
  59 \begin{center}
  60 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
  61 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
  62 %\psgrid
  63 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
  64 \savedata{\mydata}[
  65 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
  66 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
  67 \end{pspicture}
  68 \end{center}
  69
  70 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il $\{1,2,3,4,5\}$?
  71
  72
  73 Q. 7. $\sqrt{} : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}$ est surjective.
  74 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  75
  76 Q. 8. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  77
  78 Q. 9. Les relations d'ordre sont les relations réflexive, symétrique et transitive. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  79
  80 Q. 10. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite  réflexive lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
  81
  82 Q. 11. Soit $R$ la relation dans $A=\{1,2,3,4\}$ définie par
  83 $R=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$.
  84 A-t-on $R^{-1}=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$?
  85
  86
  87 Q. 12. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
  88 dans le diagramme cartésien:
  89 \begin{center}
  90 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
  91 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
  92 %\psgrid
  93 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
  94 \savedata{\mydata}[
  95 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
  96 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
  97 \end{pspicture}
  98 \end{center}
  99
 100 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il $\{1,3,5\}$?
 101
 102
 103 Q. 13. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. $\forall x, x \mathcal{R} x$.
 104 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 105
 106 Q. 14. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 107
 108 Q. 15. $|$ est une relation d'ordre dans $\mathds{Z}$.
 109 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 110
 111 Q. 16. $(\mathds{R},\leqslant)$ est un ensemble ordonné. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 112
 113 Q. 17. Les relations d'ordre sont les relations symétrique, antisymétrique et transitive.
 114 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 115
 116 Q. 18. Une application est une relation binaire.
 117 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 118
 119 Q. 19. $(\mathds{N},|)$ est un ensemble ordonné. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 120
 121 Q. 20. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 122
 123 Q. 21. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, xy = 1 \}$ est une relation fonctionnelle.
 124 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 125
 126 Q. 22. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $\forall x \in E, (x,x) \in G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 127
 128 Q. 23.
 129 Dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, . et $\overline{\begin{array}{l}~\end{array}}$, on considère l'expression
 130 $E=\overline{a}(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$. La version la plus réduite de $E$ est $\overline{a}bcde$.
 131  L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 132
 133
 134 Q. 24. $(\mathds{N}^*,|)$ est un ensemble ordonné.
 135 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 136
 137 Q. 25. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
 138 dans le diagramme cartésien:
 139 \begin{center}
 140 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
 141 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
 142 %\psgrid
 143 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
 144 \savedata{\mydata}[
 145 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
 146 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
 147 \end{pspicture}
 148 \end{center}
 149
 150 On propose les affirmations suivantes:
 151 \begin{enumerate}
 152 \item \label{item:af1} $1 \mathcal{R}4$;
 153 \item \label{item:af2} $2 \mathcal{R}5$;
 154 \item \label{item:af3} $3 \mathcal{R}1$;
 155 \item \label{item:af4} $5 \mathcal{R}3$.
 156 \end{enumerate}
 157  Toutes les relations sont-elles vraies?
 158
 159
 160 Q. 26.
 161 Dans une algèbre de Boole munie des opérateurs classiques +, . et $\overline{\begin{array}{l}~\end{array}}$, on considère l'expression
 162 $E=\overline{a}(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$. La version la plus réduite de $E$ est 1.
 163  L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 164
 165
 166 Q. 27. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
 167 dans le diagramme cartésien:
 168 \begin{center}
 169 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
 170 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
 171 %\psgrid
 172 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
 173 \savedata{\mydata}[
 174 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
 175 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
 176 \end{pspicture}
 177 \end{center}
 178
 179 On propose les affirmations suivantes:
 180 \begin{enumerate}
 181 \item \label{item:af1b} $1 \mathcal{R}4$;
 182 \item \label{item:af2b} $2 \mathcal{R}5$;
 183 \item \label{item:af3b} $3 \mathcal{R}1$;
 184 \item \label{item:af4b} $5 \mathcal{R}3$.
 185 \end{enumerate}
 186 L'item \ref{item:af4b} est-il toujours faux?
 187
 188
 189 Q. 28. $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow $ \og $x$ et $y$ ont le même reste dans une division par 2 \fg{} est une relation d'ordre sur les entiers strictement positifs. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 190
 191 Q. 29. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 192
 193 Q. 30. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si $\forall x \in E, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 194
 195 Q. 31. $\mathcal{R} = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, y-x+2 = 0 \}$ est une relation binaire.
 196 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 197
 198 %Q. 32. $\mathds{C}$ a la puissance du continu.
 199 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?\\
 200 % Q. 79.
 201 Q. 32. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est injective.
 202 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 203
 204 Q. 33. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Le graphe de $\mathcal{R}$ est symétrique par rapport à la diagonale.
 205 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 206
 207 %Q. 34. La puissance du continu est la puissance de $\mathds{N}$.
 208 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 209
 210 %Q. 78.
 211 Q. 34. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si la diagonale de $E^2$ est incluse dans $G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 212
 213
 214
 215 Q. 35. Les relations d'ordre sont les relations réflexive, symétrique et transitive.
 216 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 217
 218 Q. 36. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au plus un antécédent. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 219
 220 Q. 37. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive lorsque, si $x$ est en relation avec $y$, et si $y$ l'est avec $z$, alors $x$ est en relation avec $z$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 221
 222 Q. 38. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si la diagonale de $E^2$ est incluse dans $G$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 223
 224 Q. 39. Une application surjective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.
 225 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 226
 227 Q. 40. Etant donnée la relation $\mathcal{R}$ dans $C=\{1,2,3,4,5\}$ définie par les points figurant
 228 dans le diagramme cartésien:
 229 \begin{center}
 230 \psset{xunit=0.5, yunit=0.5}
 231 \begin{pspicture}(0,0)(6,6)
 232 %\psgrid
 233 \psaxes*[linewidth=1.2pt,labels=all,ticks=all]{->}(0,0)(0,0)(6,6)
 234 \savedata{\mydata}[
 235 {{1,2},{1,4},{3,1},{3,4},{3,5},{5,1},{5,2},{5,4}}]
 236 \listplot[plotstyle=dots,showpoints=true]{\mydata}
 237 \end{pspicture}
 238 \end{center}
 239
 240 Le domaine de $\mathcal{R}$ est-il
 241 $\{1,3,5\} \times \{1,2,4,5\}$?
 242
 243
 244 Q. 41. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective.
 245 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 246
 247 %Q. 42. $\mathds{Z}$ a la puissance du continu.
 248 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 249
 250 %Q. 77.
 251 Q. 42. Une application de $E$ dans $F$ est telle que $\forall x \in E$, il existe un unique élément $y \in F$ en relation avec $x$.
 252 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 253
 254
 255 Q. 43. Les applications bijectives sont les applications injectives et surjectives.
 256 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 257
 258 Q. 44. On a défini une relation binaire $\mathcal{R}$ entre deux ensembles $E$ et $F$ lorsqu’on s'est donné une partie de $E \times F$.
 259 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 260
 261 %Q. 45. $\mathcal{P}\left(\mathds{R}\right)$ a la puissance du continu.
 262 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?\\
 263 %Q. 76.
 264 Q. 45. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. $\forall x, x \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 265
 266
 267 Q. 46. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive quand tout élément est en relation avec lui-même. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 268
 269 Q. 47. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ est en relation avec $x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 270
 271 Q. 48. \og $x \mathcal{R} y$ si et seulement si $x+y$ est pair \fg{} est une relation d'ordre sur l'ensemble des entiers.
 272 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 273
 274 Q. 49. $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2, |y| = \sqrt{x} \}$ est une relation fonctionnelle.
 275 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 276
 277 %Q. 50. $\mathcal{P}\left(\mathds{N}\right)$ a la puissance du continu.
 278 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?\\
 279 %Q. 75.
 280
 281 Q. 50. $\leqslant$ est une relation d'ordre dans $\mathds{R}$.
 282 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 283
 284 Q. 51. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite antisymétrique si $$\forall (x,y,z) \in E^3, (x,y) \in G \textrm{ et } (y,z) \in G \Longrightarrow (x,z) \in G$$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 285
 286 %Q. 52. $\mathds{D}$ a la puissance du continu.
 287 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?\\
 288 %Q. 74.
 289 Q. 52. Soit $R$ la relation dans $A=\{1,2,3,4\}$ définie par
 290 $R=\{(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4),\}$.
 291 A-t-on  $R^{-1}=\{(3,1),(4,1),(2,3),(3,3),(4,3)\}$?
 292
 293
 294 Q. 53. $(\mathds{Z},|)$ est un ensemble ordonné. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 295
 296 Q. 54.
 297 On considère 4 variables booléennes $a$, $b$, $c$ et $d$. Le + est le symbole du OU logique non exclusif,
 298 le . est le symbole du ET logique et $\overline{\begin{array}{l}~\end{array}}$ est la négation logique.
 299 L'expression $\overline{a} + \overline{b} + c + d $ vaut 1 si et seulement $c.d$ vaut 1. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 300
 301 Q. 55. $|$ est une relation d'ordre dans $\mathds{N}^*$.
 302 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 303
 304 Q. 56.
 305 On considère 4 variables booléennes $a$, $b$, $c$ et $d$. Le + est le symbole du OU logique non exclusif,
 306 le . est le symbole du ET logique et $\overline{\begin{array}{l}~\end{array}}$ est la négation logique.
 307 L'égalité $a+b+c+d=0$ est établie si et seulement si $a= b= c= d = 0$. L'assertion  proposée est vraie ou fausse ?
 308
 309 Q. 57. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si $$\forall (x,y,z) \in E^3, x \mathcal{R} y \textrm{ et } y \mathcal{R} z \Longrightarrow x \mathcal{R} z$$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 310
 311 Q. 58.
 312 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
 313 $g:B \rightarrow C$ et
 314 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivants
 315
 316 \begin{center}
 317 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
 318 \scalebox{1}{
 319 \cnodeput*(0,4){a}{a}
 320 \cnodeput*(0,3){b}{b}
 321 \cnodeput*(0,2){c}{c}
 322 \cnodeput*(2,4){1}{1}
 323 \cnodeput*(2,3){2}{2}
 324 \cnodeput*(2,2){3}{3}
 325 \cnodeput*(4,4){x}{x}
 326 \cnodeput*(4,3){y}{y}
 327 \cnodeput*(4,2){z}{z}
 328 \cnodeput*(4,1){w}{w}
 329 \cnodeput*(6,4){4}{4}
 330 \cnodeput*(6,3){5}{5}
 331 \cnodeput*(6,2){6}{6}
 332
 333 \rput(-0.2,5.2){$A$}
 334 \rput(1.8,5.2){$B$}
 335 \rput(3.8,5.2){$C$}
 336 \rput(5.8,5.2){$D$}
 337
 338 \rput(1,0.5){$f$}
 339 \rput(3,0.5){$g$}
 340 \rput(5,0.5){$h$}
 341
 342
 343 \psellipse(0,3)(0.5,2)
 344 \psellipse(2,3)(0.5,2)
 345 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
 346 \psellipse(6,3)(0.5,2)
 347
 348 \ncline{->}{a}{2}
 349 \ncline{->}{b}{1}
 350 \ncline{->}{c}{2}
 351 \ncline{->}{2}{x}
 352 \ncline{->}{1}{y}
 353 \ncline{->}{3}{w}
 354 \ncline{->}{x}{4}
 355 \ncline{->}{z}{4}
 356 \ncline{->}{y}{6}
 357 \ncline{->}{w}{5}
 358    }
 359  \endpspicture
 360 \end{center}
 361
 362 $f$ est-elle ni injective ni surjective?
 363
 364 Q. 59. $(\mathds{N},|)$ est un ensemble ordonné.
 365 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 366
 367 Q. 60. $x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow $ \og $x$ et $y$ ont le même reste dans une division par 2 \fg{} est une relation d'ordre sur les entiers strictement positifs.
 368 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 369
 370 Q. 61. Une application injective est une application telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée possède exactement un antécédent.
 371 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 372
 373 Q. 62. Les applications bijectives sont les applications injectives et surjectives. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 374
 375 Q. 63. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $E$ possède exactement une image dans $F$.
 376 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 377
 378 Q. 64. $\sin : [0,\pi] \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 379
 380 Q. 65.
 381 Etant données les fonctions $f:A \rightarrow B$,
 382 $g:B \rightarrow C$ et
 383 $h:C \rightarrow D$ définies par le diagramme suivants
 384
 385 \begin{center}
 386 \pspicture*(-1,-1)(7,5.4)
 387 \scalebox{1}{
 388 \cnodeput*(0,4){a}{a}
 389 \cnodeput*(0,3){b}{b}
 390 \cnodeput*(0,2){c}{c}
 391 \cnodeput*(2,4){1}{1}
 392 \cnodeput*(2,3){2}{2}
 393 \cnodeput*(2,2){3}{3}
 394 \cnodeput*(4,4){x}{x}
 395 \cnodeput*(4,3){y}{y}
 396 \cnodeput*(4,2){z}{z}
 397 \cnodeput*(4,1){w}{w}
 398 \cnodeput*(6,4){4}{4}
 399 \cnodeput*(6,3){5}{5}
 400 \cnodeput*(6,2){6}{6}
 401
 402 \rput(-0.2,5.2){$A$}
 403 \rput(1.8,5.2){$B$}
 404 \rput(3.8,5.2){$C$}
 405 \rput(5.8,5.2){$D$}
 406
 407 \rput(1,0.5){$f$}
 408 \rput(3,0.5){$g$}
 409 \rput(5,0.5){$h$}
 410
 411
 412 \psellipse(0,3)(0.5,2)
 413 \psellipse(2,3)(0.5,2)
 414 \psellipse(4,2.5)(0.5,2.5)
 415 \psellipse(6,3)(0.5,2)
 416
 417 \ncline{->}{a}{2}
 418 \ncline{->}{b}{1}
 419 \ncline{->}{c}{2}
 420 \ncline{->}{2}{x}
 421 \ncline{->}{1}{y}
 422 \ncline{->}{3}{w}
 423 \ncline{->}{x}{4}
 424 \ncline{->}{z}{4}
 425 \ncline{->}{y}{6}
 426 \ncline{->}{w}{5}
 427    }
 428  \endpspicture
 429 \end{center}
 430
 431 $h \circ g$ est-elle surjective?
 432
 433 Q. 66. Si $f:E \longrightarrow F$ est bijective, alors tout élément de $F$ possède exactement un antécédant dans $E$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 434
 435 Q. 67. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite réflexive quand tout élément est en relation avec lui-même. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 436
 437 Q. 68. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire. Il est possible d'avoir $x \mathcal{R} y$ sans avoir $y \mathcal{R} x$. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 438
 439 Q. 69. Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire définie sur un ensemble $E$, de graphe $G$. $\mathcal{R}$ est dite transitive si, lorsque $x$ est en relation avec $y$, alors $y$ ne peut pas être en relation avec $x$ (sauf si $x=y$). L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 440
 441 Q. 70. Une application bijective est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 442
 443 Q. 71. $\sin : \mathbb{R} \longrightarrow [-1,1]$ est surjective. L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
 444
 445 %Q. 72. $\mathds{Q}$ a la puissance du continu.
 446 %L'assertion proposée est vraie ou fausse ?\\
 447 Q. 72.
 448 $\subset$ est une relation d'ordre dans $\mathcal{P}(E)$.
 449 L'assertion proposée est vraie ou fausse ?
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